UNIDAD IV. RESISTENCIA DE MATERIALES

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FÍSICA  . INGENIERÍA INDUSTRIAL

UNIDAD IV. RESISTENCIA DE MATERIALES

        

4.1. Esfuerzo y deformación debido a cargas externas: esfuerzos mecánicos y térmicos y ley de Hooke.

4.2. Vigas con dos apoyos cargadas en puntos:vigas con cargas uniformes, vigas hiperestáticas y vigas en Cantiliver.

4.3. Clasificación de columnas.

TEMA 4.1. ESFUERZO Y DEFORMACIÓN DEBIDO A CARGAS EXTERNAS, ESFUERZOS MECÁNICOS, TÉRMICOS Y LEY DE HOOKE.

            En general un esfuerzo es el resultado de la división entre una fuerza y el área en la que se aplica. Se distinguen dos direcciones para las fuerzas, las que son normales al área en la que se aplican y las que son paralelas al área en que se aplican. Si la fuerza aplicada no es normal ni paralela a la superficie, siempre puede descomponerse en la suma vectorial de otras dos que siempre resultan ser una normal y la otra paralela.

Los esfuerzos con dirección normal a la sección, se denotan como σ (sigma) y representa un esfuerzo de tracción cuando apunta hacia afuera de la sección, tratando de estirar al elemento analizado. En cambio, representa un esfuerzo de compresión cuando apunta hacia la sección, tratando de aplastar al elemento analizado.

El esfuerzo con dirección paralela al área en la que se aplica se denota como τ (tau) y representa un esfuerzo de corte. Este esfuerzo, trata de cortar el elemento analizado, tal como una tijera cuando corta papel, uno de sus filos mueven el papel hacia un lado mientras el otro filo lo mueve en dirección contraria resultando en el desgarro del papel a lo largo de una línea.

Las unidades de los esfuerzos son las mismas que para la presión, fuerza dividida por área, se utilizan con frecuencia : MPa, psia, kpsia, kg/mm2, kg/cm2.

Así, los principales ESFUERZOS MECÁNICOS se pueden enlistar como sigue:

 Tracción: Esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a estirarlo, aumentando su longitud y disminuyendo su sección.

 Compresión: Esfuerzo a que está sometido un cuerpo por la aplicación de dos fuerzas que actúan en sentido opuesto, y tienden a comprimirlo, disminuyendo su longitud y aumentando su sección.

 Flexión: Esfuerzo que tiende a doblar el objeto. Las fuerzas que actúan son paralelas a las superficies que sostienen el objeto. Siempre que existe flexión también hay esfuerzo de tracción y de compresión.

 Cortadura: esfuerzo que tiende a cortar el objeto por la aplicación de dos fuerzas en sentidos contrarios y no alineados. Se encuentra en uniones como: tornillos, remaches y soldaduras.

 Torsión: esfuerzo que tiende a retorcer un objeto por aplicación de un momento sobre el eje longitudinal.

            Algunas de las propiedades mecánicas de la materia son la elasticidad, la compresión y la tensión.

            Definimos a un cuerpo elástico, como aquel que recobra su tamaño y forma original cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elásticas, las pelotas de fútbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos. Para todos los cuerpos elásticos, conviene establecer relaciones de causa y efecto entre la deformación y las fuerzas deformantes.

            Considere el resorte de longitud 1 de la figura siguiente. Podemos estudiar su elasticidad añadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento de su longitud. Una pesa de 2 N alarga el resorte 1 cm, una pesa de 4 N alarga el resorte 2 cm y una pesa de 6 N alarga el resorte 3 cm. Es evidente que existe una relación directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada.

Las propiedades mecánicas de la materia son la elasticidad, la compresión y la tensión. Definimos a un cuerpo elástico, como aquel que recobra su tamaño y forma original cuando deja de actuar sobre él una fuerza deformante. Las bandas de hule, las pelotas de golf, los trampolines, las camas elásticas, las pelotas de fútbol y los resortes son ejemplos comunes de cuerpos elásticos. Para todos los cuerpos elásticos, conviene  establecer relaciones de causa y efecto entre la deformación y las fuerzas deformantes.

Considere el resorte de longitud 1 de la figura siguiente. Podemos estudiar su elasticidad añadiendo pesas sucesivamente y observando el incremento de su longitud. Una pesa de 2 N alarga el resorte 1 cm, una pesa de 4 N alarga el resorte 2 cm y una pesa de 6 N alarga el resorte 3 cm. Es evidente que existe una relación directa entre el estiramiento del resorte y la fuerza aplicada.

           

Robert Hooke fue el primero en establecer esta relación por medio de la invención de un volante para resorte para reloj. En términos generales, Hooke descubrió que cuando una fuerza F, actúa sobre un resorte, produce en él un alargamiento s que es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada. La Ley de Hooke se representa como:

F = ks.

La constante de proporcionalidad k varía mucho de acuerdo con el tipo de material y recibe el nombre de constante del resorte. Para el ejemplo anterior, la constante del resorte es de:

k = F/s = 19.6 N/cm

La Ley de Hooke no se limita al caso de los resortes en espiral; de hecho, se aplica a la deformación de todos los cuerpos elásticos. Para que la Ley pueda aplicar de un modo más general, es conveniente definir los términos esfuerzo y deformación. El Esfuerzo se refiere a la causa de una deformación elástica, mientras que la deformación se refiere a su efecto, es decir a la deformación en sí misma. Existen 3 tipos de esfuerzos, los de tensión, de compresión y cortantes, en este subtema, nos centraremos a analizar el esfuerzo de tensión que se presenta cuando fuerzas iguales y opuestas se apartan entre sí.

La eficacia de cualquier fuerza que produce un esfuerzo depende en gran medida del área sobre la que se distribuye la fuerza, por ello una definición más completa del esfuerzo se puede enunciar de la siguiente forma:

Esfuerzo: es la razón de una fuerza aplicada entre el área sobre el cual actúa, por ejemplo Newtons/m², o libras/ft².

Deformación: es el cambio relativo en las dimensiones o en la forma de un cuerpo como resultado de la aplicación de un esfuerzo.

En el caso de un esfuerzo de tensión o de compresión, la deformación puede considerarse como un cambio en la longitud por unidad de longitud.

El límite elástico es el esfuerzo máximo que puede sufrir un cuerpo sin que la deformación sea permanente. Por ejemplo, un cable de aluminio cuya sección transversal es de 1 pulg², se deforma permanentemente si se le aplica un esfuerzo de tensión mayor de 19000 libras. Esto no significa que el cable se romperá en ese punto, sino que únicamente que el cable no recuperará su tamaño original. En realidad, se puede incrementar la tensión hasta casi 21000 libras antes de que el cable se rompa. Esta propiedad de los metales les permite ser convertidos en alambres de secciones transversales más pequeñas. El mayor esfuerzo al que se  puede someter un alambre sin que se rompa recibe el nombre de límite de rotura.

Si no se excede el límite elástico, de un material, podemos aplicar la Ley de Hooke a cualquier deformación elástica. Dentro de los límites para un material dado, se ha comprobado experimentalmente que la relación de un esfuerzo determinado entre la deformación que produce es una constante. En otras palabras, el esfuerzo es directamente proporcional a la deformación.

 La Ley de Hooke, establece:

Siempre que no se exceda el límite elástico, una deformación elástica es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza aplicada por unidad de área (esfuerzo).

Si llamamos a la constante de proporcionalidad el módulo de elasticidad, podemos escribir la Ley de Hooke en su forma más general:

Módulo de elasticidad = esfuerzo

                                      Deformación

Los esfuerzos y deformaciones son longitudinales cuando se aplican a alambres,  varillas, o barras. El esfuerzo longitudinal está dado por:

Esfuerzo longitudinal = F/A.

            La unidad del esfuerzo longitudinal en el Sistema Internacional es el Newton/metro cuadrado, el cual se redefine como Pascal:

1 Pa = 1 N/m².

En el Sistema Inglés es la libra por pulgada cuadrada:

1 lb/in²=  6895 Pa = 6.895 kPa.

El efecto del esfuerzo de tensión es el alargamiento del alambre, o sea un incremento en su longitud. Entonces, la deformación longitudinal puede representarse mediante el cambio de longitud por unidad de longitud, podemos escribir:

Deformación longitudinal = ∆l/l

Donde l es la longitud original, ∆l es la elongación (alargamiento total). Se ha demostrado experimentalmente que hay una disminución similar en la longitud como resultado de un esfuerzo de compresión. Las mismas ecuaciones se aplican ya sea que se trate de un objeto sujeto a tensión o de un objeto a compresión.

Si definimos el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young Y, podemos escribir la ecuación de esfuerzo entre deformación como:

Módulo de Young = esfuerzo longitudinal

                                 Deformación longitudinal

Y = F/A  =  Fl

      ∆l/l    A∆l

            Las unidades del módulo de Young son las mismas que las unidades de esfuerzo, libras por pulgada cuadrada o Pascales. En el cuadro siguiente se observan algunos valores del módulo de Young para algunos materiales, tanto en el Sistema Internacional como en el Sistema Inglés.

Material	Módulo de Young el el Sistema Internacional. Y (MPa) 1 MPa = 1 x 106 Pa.	Módulo de Young en el Sistema Inglés (lb/in2)	Límite elástico en MPa
Aluminio	68900	10 x 106.	131
Latón	89600	13 x 106.	379
Cobre	117000	17 x 106.	159
Hierro	89600	13 x 106.	165
Acero	207000	30 x 106.	248

DIAGRAMA ESFUERZO –DEFORMACIÓN

Problemas de esfuerzos longitudinales.

1.- Un alambre de teléfono de 120 m de largo, y 2.2. mm de diámetro se estira debido a una fuerza de 380 N. ¿Cuál es el esfuerzo longitudinal? Si la longitud después de ser estirado es de 120.10 m . ¿Cuál es la deformación longitudinal?. Determine el módulo de Young para el alambre?.

Solución: El área de la sección transversal del alambre es de

A = π D² = (3.14) (2.2 x 10^{-3 m)2} = 3.8 x 10^{-6 m2}.

        4                         4

Esfuerzo = F/A =   380 N      =  100 x 10⁶ N/m². = 100 MPa.

                             3.8 x 10^{-6 m2}.

Deformación = ∆l/l = 0.10 m/120 m = 8.3 x 10^-4.

            Y = esfuerzo/deformación =  100 MPa/8.3 x 10^-4. =  120000 MPa.

2.- ¿Cuál es la máxima carga que se puede colgar de un alambre de acero de 6 mm de diámetro sin exceder su límite elástico?. Determine el incremento en la longitud bajo el efecto de esta carga, si la longitud original es de 2 metros.

Solución: a partir de la tabla anterior, el límite elástico para el acero es de 248 Mpa o 2.48 x 10⁸ Pa. Puesto que este valor representa el esfuerzo limitante, escribimos:

F/A = 2.48 x 10⁸ Pa

Donde A es el área obtenida a partir de:

A = π D² = (3.14) (0.006 m)² = 2.83 x 10^{-5 m2}.

        4                         4

Por lo tanto, la carga limitadora F es el esfuerzo limitador multiplicado por el área:

F = (2.48 x 10⁸ Pa) (2.83 x 10^{-5 m2}.) = 7.01 x 10³ N.

La mayor masa que puede soportarse se calcula a partir de este peso:

m = P/g    m = 7.01 x 10³  kg m/seg².  =  716 kg.

                                               9.8 m/seg².

El incremento de la longitud  bajo dicha carga se encuentra a partir de la ecuación:

∆l = 1 (F/A)  = 2 m    (2.48 x 10⁸ Pa) = 2.40 x 10^{-3 m}.

        Y             2.07 x 10¹¹ Pa

La longitud aumenta en 2.40 mm y la nueva longitud es de 2.0024 m.

           

para algunos de los sólidos y líquidos más comunes.

Material	Módulo de volumen B en Mpa	Módulo de volumen B en lb/in2.
Aluminio	68900	10 x 106.
Latón	58600	8.5 x 106.
Cobre	117000	17 x 106.
Hierro	96500	14 x 106.
Acero	159000	23 x 106.
Benceno	1050	1.5 x 105.
Alcohol etílico	1100	1.6 x 105.
Mercurio	27000	40 x 105.
Aceite	1700	2.5 x 105.
Agua	2100	3.1 x 105.

            Cuando se trabaja con líquidos, a veces es más conveniente representar el esfuerzo como la presión P, que se define como la fuerza por unidad de área F/A. Con esta definición podemos escribir la ecuación del módulo de volumen, de la siguiente forma:

 B= -P / ( ∆V/Vo)

                         

            Al valor recíproco del módulo de volumen se le llama compresibilidad k. Con frecuencia conviene estudiar la elasticidad de los materiales midiendo sus respectivas compresibilidades. Por definición:

k = 1/B = - (1/P) (∆V/Vo)

            La ecuación anterior indica que la compresibilidad es el cambio fraccional en volumen por unidad de incremento de la presión.

CONCEPTO DE ESFUERZO Y TENSIÓN DE CORTE.

            Los esfuerzos de compresión y de tensión producen un ligero cambio en las dimensiones lineales. Como se mencionó antes un esfuerzo cortante altera únicamente la forma del cuerpo, sin que cambie su volumen. Por ejemplo considere las fuerzas paralelas no concurrentes (no se aplican en el mismo punto), que actúan sobre el cubo que se ve en la figura siguiente:

  

 

La fuerza aplicada provoca que cada capa sucesiva de átomos se deslice sobre la siguiente, en forma parecida a las que les ocurre a las páginas de un libro bajo un esfuerzo similar. Las fuerzas interatómicas restituyen al cubo original cuando cesa dicho esfuerzo.

El esfuerzo cortante se define como la relación de la fuerza tangencial F entre el área A sobre la que se aplica. La deformación cortante se define como el ángulo  (en radianes), que se conoce como ángulo de corte. Si se aplica le Ley de Hooke, podemos ahora definir el módulo de corte S, de la siguiente forma:

S = esfuerzo cortante    =  F/A

       Deformación cortante  

El ángulo , generalmente es tan pequeño que es aproximadamente igual a tan  . Aprovechando este hecho, podemos volver a escribir la ecuación anterior en la siguiente forma: 

S = F/A = F/A

                 Tan   d/l

Debido a que el valor de S, nos da información sobre la rigidez de un cuerpo, a veces se le conoce como módulo de rigidez.

En el cuadro siguiente se muestran los módulos de rigidez o módulos de corte de algunos más comunes.

Material	Módulo de corte (S) en Mpa	Módulo de corte (S) en lb/in2.
Aluminio	23700	3.44  x 106.
Latón	35300	5.12  x 106.
Cobre	42300	6.14  x 106.
Hierro	68900	10  x 106.
Acero	82700	12  x 106.

(1 m)² = (100 cm)² = 10000 cm².

26 cm² (1 m²)   =   2.6 x 10^{-3 m2}.

           (10000 cm².)

Esfuerzo cortante = F/A

Esfuerzo cortante = 14700 N/ 2.6 x 10^{-3 m2}. = 5.65 x 10⁶ N/m². ó

5.65 x 10⁶ Pa ó 5.65 Mpa.

 4.2 VIGAS CON DOS APOYOS CARGADAS En PUNTOS CON CARGAR UNIFORMES, VIGAS HIPERESTATICAS Y VIGAS CANTILIVER.

            Viga proviene del latín biga, un término que hacía referencia al carro de dos caballos.
            En la actualidad, el término se utiliza para nombrar a un hierro o madero largo y grueso, que permite sostener los techos de las construcciones o asegurar la estructura.
La viga es un elemento constructivo que trabaja a flexión, cuyo esfuerzo genera tensiones de tracción y compresión. Cuando las vigas se encuentran en el perímetro exterior de un forjado, es posible que también se produzcan tensiones por torsión.

            Es un elemento fundamental en la construcción, sea ésta de cualquier material. Será el tipo, calidad y fin de la construcción lo que determinará medidas, materiales de la viga, y sobre todo, su capacidad de sostener y contener pesos y tensiones.
La viga es una estructura horizontal que puede sostener carga entre dos apoyos sin crear empuje lateral en éstos. El uso más imponente de una viga, tal vez sea el que aplica a la estructura de puentes. Su diseño de ingeniería descansa justamente sobre vigas de calidades y tamaños acordes al tipo y uso de puente que se desea construir.      

            Esta estructura desarrolla compresión en la parte de arriba y tensión en la de abajo. Pensemos que los primeros puentes de la humanidad fueron construidos con vigas de madera: primitivos troncos o vigas que unían dos orillas.

Dentro de lo que son las vigas podemos encontrar dos tipos diferentes: VIGAS HIPERESTATICAS y VIGAS CANTILIVER.

            Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto su longitud, para que abajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menos que la necesaria para romperlo por aplastamiento.
           

Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la compresión es el principal factor que determina el comportamiento del elemento. Es por ello que el pre dimensionado de columnas consiste en determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño debido a diversos factores.

            El siguiente método fue desarrollado por Hardy Cross en 1932.
Viga hiperestática es aquella que tiene todos sus movimientos restringidos, estas condiciones restringen mas movimientos de los que generalmente la viga puede hacer.       Por ejemplo una viga en un plano solo tiene 3 movimientos posibles los cuales se anular y hacer una viga hiperestática colocando dos apoyos fijos, cuatro móviles uno fijo y dos móviles, un empotrado y un móvil etc. existen varias formas de hacer esto.
También se define como aquella que tiene varias condiciones de contorno, es decir de movimientos impedidos de los que son estrictamente necesarios para su estabilidad, por ellos su cálculo no se realiza con las ecuaciones de equilibrio, si no recurriendo a los esfuerzos y deformaciones que se den a partir de las ecuaciones del material. Y normalmente son usadas en las estructuras de construcción y su uso es el más extendido.

            Estos compartimientos están compuestos por un momento, una fuerza vertical y otra horizontal y para resolver el cálculo se puede utilizar el famoso método de Cross aunque actualmente ya decayó mucho el método por las calculadoras o programas matemáticos como el SAP 2000 versión 7 y el ip3 estructuras.
            Este tipo de vigas se usan normalmente en las edificaciones porque tienen la ventaja de que no vibran por la acción de la carga para la que están diseñadas, aunque se corre el riesgo de que al ocurrir un sismo la fuerza de este sobrepase la resistencia de su diseño y rompa la estructura pero para que pase esto tiene que ser un sismo muy fuerte.

Las vigas en cantiliver están sujetas a condiciones de frontera tomando en consideración un extremo fijo y su lado opuesto libre.
Modelo discreto: las características de vibración de una viga en cantiléver, se pueden simplificar de un sistema continuo a un sistema discreto en donde una sola dirección de desplazamiento y un grado de liberta son considerados

TEMA 4.3. CLASIFICACIÓN DE COLUMNAS.

            Una columna es un elemento axial sometido a compresión, lo bastante delgado respecto de su longitud, pero que bajo la acción de una carga gradualmente creciente se rompa por flexión lateral o pandeo ante una carga mucho menor que la necesaria para romperlo por aplastamiento. Esto se diferencia de un poste corto sometido a compresión, el cual, aunque esté cargado excéntricamente, experimenta una flexión lateral despreciable. Aunque no existe un límite perfectamente definido entre elemento corto y columna, se suele considerar que un elemento a compresión es una columna si su longitud es más de diez veces su dimensión transversal menor o área o grosor de la misma. Las columnas se suelen dividir en dos grupos: Largas e intermedias. A veces, los elementos cortos a compresión se consideran como un tercer grupo de las columnas. Las diferencias entre los tres grupos vienen determinadas por su comportamiento. Las columnas largas se rompen por pandeo o flexión lateral; las intermedias, por una combinación de aplastamiento y pandeo, y los postes cortos, por aplastamiento. Examinemos ahora estas diferencias.

            Una columna ideal es un elemento homogéneo, de sección recta constante, inicialmente perpendicular al eje, y sometido a compresión. Sin embargo, las columnas suelen tener siempre pequeñas imperfecciones de material y fabricación, así como una inevitable excentricidad accidental en la aplicación de la carga. Todo esto se representa muy exageradamente en la figura siguiente:

Factores que intervienen en la excentricidad de las cargas en las columnas

Línea eje perfectamente recta

            La curvatura inicial de la columna, junto con la posición de la carga, dan lugar a una excentricidad indeterminada e, con respecto al centro de gravedad, en una sección cualquiera m-n. El estado de carga en esta sección es similar al de un poste corto similar cargado excéntricamente, y el esfuerzo resultante está producido por la superposición del esfuerzo directo de compresión y el esfuerzo de flexión (o mejor dicho, por flexión). Si la excentricidad es pequeña y el elemento es corto, la flexión lateral es despreciable, y el esfuerzo de flexión es insignificante comparado con el esfuerzo de compresión directo. Sin embargo, en un elemento largo, que es mucho más flexible ya que las deflexiones son proporcionales al cubo de la longitud (l³), con un valor relativamente pequeño de la carga P puede producirse un esfuerzo de flexión grande acompañado de un esfuerzo directo de compresión despreciable. Así, pues, en las dos situaciones extremas, una columna corta soporta fundamentalmente el esfuerzo directo de compresión, y una columna larga está sometida principalmente al esfuerzo de flexión. Cuando aumenta la longitud de una columna disminuye la importancia y los efectos del esfuerzo directo de compresión y aumenta correlativamente los del esfuerzo de flexión. Por desgracia, en la zona intermedia no es posible determinar exactamente la forma en que varían estos dos tipos de esfuerzos, o la proporción con la que cada una contribuye al esfuerzo total.

Las columnas representan el elemento vertical de soporte para la mayoría de las estructuras a base de marcos. Para analizar la capacidad de carga de las columnas se deben referirse al conjunto al que pertenecen y al sistema en el que trabajan; es decir, a las características generales del edificio en términos de la forma en que se encuentran definidas las partes integrantes o marcos, que son estructuras reticulares que contienen un cierto número de claros para una serie de niveles o entrepisos.

La columna clásica se compone de tres partes:

-La base: protege a la columna de los golpes que podrían deteriorarla, al mismo tiempo que da una superficie de sustentación mayor.

-El fuste.

-El capitel: es necesario para proporcionar un asiento capaz de recibir mejor el entabla miento.

Las columnas tradicionales se distinguen por su construcción.

-La columna construida en una sola pieza de material se llama monolítica; cuando está formada por una superposición de discos, cuya altura es superior diámetro se llama en trozos, y de tabores si la altura es inferior. Si el interior de la columna es hueco y contiene una escalera de caracol se llama cóclida.

-En su forma más simple, las columnas son barras prismáticas, rectas y largas, sujetas a cargas axiales de compresión.

Atendiendo a su disposición en relación con otros componentes de un edificio, pueden distinguirse estos tipos de columnas:

-Columna aislada o exenta: La que se encuentra separada de un muro o cualquier elemento vertical de la edificación.

-Columna adosada: La que está yuxtapuesta a un muro u otro elemento de la edificación.

-Columna embebida: La que aparenta estar parcialmente incrustada en el

muro u otro cuerpo de la construcción.

En el año 1757, el gran matemático suizo Leonhard Euler realizó un análisis teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación diferencial de la elástica: 

El = d2y / dx2 = M. Ahora se sabe que éste análisis solamente es válido hasta que los esfuerzos alcanzan el límite de proporcionalidad. En tiempos de Euler no se habían establecido los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que el no tuvo en cuenta la existencia de un límite superior a la carga crítica.

La ecuación de la fórmula de Euler para el análisis de columnas es:

P = El  pi2/ L2

Donde P = Carga crítica en Newtons (N)

E = Esfuerzo en Newtons/m² ó Pascales (Pa)

L = Altura o longitud de la columna en metros (m)

http://www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r81669.PDF